逻辑和推理

一、命题逻辑

概念与定义

命题逻辑（Propositional Logic）是逻辑学中最基础的分支，主要研究命题之间的逻辑关系以及推理规则。命题是一个可以明确判定真假的陈述句，如“今天下雨”或“2 是偶数”。

1. 命题的基本构成：

命题由谓词和变量组成，可以分为简单命题和复合命题：

• 简单命题：不能再被拆分的基本命题，如“2 是偶数”。
• 复合命题：由简单命题通过逻辑连接词构成的更复杂的命题，如“2 是偶数且 3 是奇数”。

2. 逻辑连接词：

命题逻辑中常见的逻辑连接词包括：

• 否定（¬）：表示命题的否定，如“¬p”表示“p 不成立”。
• 合取（∧）：表示两个命题的“且”关系，如“p ∧ q”表示“p 和 q 同时成立”。
• 析取（∨）：表示两个命题的“或”关系，如“p ∨ q”表示“p 或 q 成立”。
• 条件（→）：表示条件关系，如“p → q”表示“如果 p，那么 q”。
• 双条件（↔）：表示等价关系，如“p ↔ q”表示“p 当且仅当 q”。

3. 真值表：

真值表是命题逻辑的基础工具，用于显示命题的所有可能真假组合。例如，对于 \(p\) 和 \(q\)​，其逻辑连接词的真值表如下：

\(p\)	\(q\)	\(p ∧ q\)	\(p ∨ q\)	\(¬p\)
真	真	真	真	假
真	假	假	真	假
假	真	假	真	真
假	假	假	假	真

应用与推理

1. 推理规则：

命题逻辑中的推理规则是从已知命题推出新命题的规则，常见规则包括：

• 模态肯定：若 \(p → q\) 且 \(p\) 为真，则 \(q\) 为真。
• 模态否定：若 \(p → q\) 且 \(q\) 为假，则 \(p\) 为假。
• 析取三段论：若 \(p ∨ q\) 且 \(¬p\)，则 \(q\) 为真。

2. 逻辑等价：

两个命题 \(p\) 和 \(q\) 在所有情况下具有相同真值，则称它们逻辑等价，记为 \(p ≡ q\)。如，\(p ∨ ¬p ≡ 真\)​。

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二、谓词逻辑

概念与定义

谓词逻辑（Predicate Logic）是命题逻辑的扩展，能够表达更复杂的逻辑关系和结构。与命题逻辑不同，谓词逻辑引入了变量、量词和谓词，用于描述对象之间的关系。

1. 基本构成：

• 谓词：表示对象的属性或关系，如 \(P(x)\) 表示“\(x\) 是偶数”。
• 变量：表示具体的对象，可以取不同的值，如 \(x, y\)。
• 量词：用于描述范围和存在性，包括：
  • 全称量词（∀）：表示对所有情况都成立，如“∀x P(x)”表示“对所有 \(x\)，\(P(x)\) 成立”。
  • 存在量词（∃）：表示存在某个情况成立，如“∃x P(x)”表示“存在某个 \(x\)，\(P(x)\) 成立”。

2. 公式分类： - 原子公式：由谓词和变量直接构成的表达式，如 \(P(x)\)。
   - 复合公式：由原子公式通过逻辑连接词和量词构成，如 \(P(x) ∧ Q(x)\)。

推理规则

1. 量词的操作规则：

• 全称特化：若已知“∀x P(x)”，则可以推出 \(P(a)\)。
• 存在引入：若已知 \(P(a)\)，则可以推出“∃x P(x)$”。

2. 谓词逻辑的推理流程：

• 确定量词的作用域，明确逻辑表达式的含义。
• 运用推理规则化简表达式，得到具体结论。

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三、知识图谱推理

概念与定义

知识图谱（Knowledge Graph）是通过图结构表示知识的工具，其核心要素包括实体、属性和关系。知识图谱推理是基于已有的图谱信息，利用逻辑规则和算法推断新知识的过程。

1. 知识图谱的基本结构：

• 实体（Node）：知识图谱的节点，表示现实中的具体对象，如“苹果公司”。
• 关系（Edge）：实体之间的关系，如“生产”或“属于”。
• 属性（Attribute）：对实体或关系的补充描述，如“苹果公司”成立于 1976 年。

2. 表示方法：

• 三元组表示：知识图谱的数据以三元组形式存储，如 \((实体1, 关系, 实体2)\)。
• 图表示：将实体和关系构建为图结构，其中节点为实体，边为关系。

3. 推理方法：

• 规则推理：基于逻辑规则生成新知识，如 \((A, 属于, B) ∧ (B, 属于, C) → (A, 属于, C)\)。
• 嵌入推理：通过将知识图谱表示为低维向量，利用神经网络进行预测。

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四、概率图推理

概念与定义

概率图模型（Probabilistic Graphical Model）结合概率论和图论，表示不确定性和依赖关系。其目标是对随机变量的联合分布建模，并利用推理算法计算概率。

1. 分类：

• 贝叶斯网络（Bayesian Network）：有向无环图（DAG），表示随机变量之间的条件依赖关系。
• 马尔可夫网络（Markov Network）：无向图，表示随机变量之间的对称依赖关系。

2. 基本元素：

• 节点：表示随机变量。
• 边：表示变量之间的条件依赖关系。
• 条件概率表：描述父节点对当前节点的影响。

3. 推理方法：

• 精确推理：如变量消元、信念传播。
• 近似推理：如采样算法（Gibbs 采样、MCMC）。

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五、因果推理

概念与定义

因果推理（Causal Inference）是研究因果关系的方法，通过数据和模型推断变量之间的因果影响。

1. 因果关系的表示：

• 因果图模型：用有向图表示变量间的因果关系，如 \(X \to Y\) 表示“\(X\) 导致 \(Y\)”。
• 因果效应：描述因变量 \(Y\) 受到自变量 \(X\) 的影响程度。

2. 推理方法：

• 干预分析：通过人为改变 \(X\)，观察 \(Y\) 的变化。
• 反事实推断：分析在不同假设下的结果，如“如果没有发生事件 \(A\)，\(Y\) 会怎样”。

3. 应用领域：

• 医学：分析治疗的因果效应。
• 社会科学：研究政策的因果影响。