Lecture 4 - Floating Points¶
主要介绍 IEEE Encoding.
Presision options¶
\[
v=(-1)^sM2^E
\]
- 单精度：1 位符号位(s)，8 位指数位(exp)，23 位数值位(frac)
- 双精度：1 位符号位，11 位指数位，52 位数值位
Normalized Values¶
-
过大过小情况占用：\(Exp \neq 000...0\) and \(Exp \neq 111...1\).
-
指数位不用补码，而是 \(E=Exp-Bias\).
- Exp: unsigned value of exp filed.
- Bias: \(2^{k-1}-1\).（如对于 single precision:
Bias = 127, Exp: 1...254; E: -126...127） - 不采用补码的原因：对于
int，最常见的运算是加减运算，所以采用补码；而对于double对指数的加减法并不常见，“比较大小”成为了更常见的运算，所以用unsigned更快。
-
Signficand coded with implied leading 1.
对于数值位全部标准化，即化成
1.xxxxxxxx，然后因为第一位肯定是 1，所以我们还可以再节省一位，frac全部用来表示小数点后的数值。
但是你会发现，如果只有 normalized values，你无法表示 0，这就是为什么留了两个 exp 值的原因。
Denormalized Values¶
-
Condition:
Exp = 000...0. -
exp: \(E=1-Bias\)（不是 normalized 里面的
0-Bias！） -
Signficand coded with implied 0.
即化成
0.xxxxxxxx，然后因为第一位肯定是 1，所以我们还可以再节省一位，frac全部用来表示小数点后的数值。这就可以解释为什么 \(E=1-Bias\) 了：如果还和原来一样，会导致
1.xxxxxx * 2^{-bias}这个次数表示不出来。 -
对于浮点数而言，存在
+0和-0.
Special Values¶
- Condition:
Exp = 111...1. - Case 1:
frac = 000...0——Represent valueinfinity1.0/0.0, 1.0/(-0.0).
- Case 2:
frac != 000...0——RepresentNaN(Not-a-Number)sqrt(-1), inf-inf, inf*0.
一个简单的例子：
- 浮点数所表示数值的疏密程度：在零点附近密集，在无穷处稀疏。
Rounding¶
对于浮点数的加法/乘法，需要截去溢出位，并且进行 rounding.
接下来重点介绍 IEEE Encoding 的 Default Rounding——Nearest Even Rounding.
- 若 >0.5，向上取整
- 若 <0.5，向下取整
- 若 =0.5，向最近偶数取整
统计学的解释：如果你有一组均匀分布的数据，那么他们向上或向下取整的概率都是 50%.
以上是对于十进制的情况，那么对于二进制的情况？
- "Even" when least significant bit is 0（最低位是 0）
- "Half way" when bits to right of rounding position =
100...
Addition and Multiplication in FP¶
- 浮点数加法不具有结合性（overflow；inexactness of rounding）
3 + inf - inf = 03 + (inf - inf) = 3
- 浮点数乘法不具有结合性（overflow；inexactness of rounding）
1e20 * 1e20 * 1e-20 = inf(1e20 = 10^20)1e20 * (1e20 * 1e-20) = 1e20
Floating Point in C¶
double/float -> int- 把指数乘进去以后扔掉小数位
- 可以理解成向 0 取整
- 若数为
NaN或inf，设成 Tmin.
int -> double: exact conversion，因为int位数小于doubleint -> float: 因为float有符号位和指数位，所以位数不够，用浮点数的方式取整。
一些练习：
- 第二、三、五个、倒数第二、三、四个正确，其余错误。