二次型
二次型¶
索引¶
- 引入——双线性函数
- 二次型的定义
- 矩阵相合的定义与性质
- 二次型标准形的定义与求解
- 相合规范形与惯性定理
- 正定二次型与正定矩阵的定义
- 例题选讲
引入——双线性函数¶
我们之前学习过相抵和相似，这两个概念都是从线性映射中引入的，那么对于二次型和相合矩阵，我们仍尝试从线性映射的角度来引入。
在之前的学习中，我们学习过线性映射 \(f:V \to W\)，如果 \(W\) 是一个数域，我们就可以得到一个线性函数 \(f: V \to F\)；那么如果函数 \(f\) 的自变量是两个向量呢？
我们称 \(f\) 为线性空间 \(V(F)\) 上的一个双线性函数，如果 \(f\) 是 \(V \times V\) 到 \(F\) 的映射，而且 \(\forall \alpha, \beta, \alpha_i, \beta_i \in V, k_i \in F (i = 1,2)\)，均有：
(1) \(f(\alpha, k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2) = k_1 f(\alpha, \beta_1) + k_2 f(\alpha, \beta_2),\)
(2) \(f(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2, \beta) = k_1 f(\alpha_1, \beta) + k_2 f(\alpha_2, \beta).\)
- 既然线性映射可以用一个矩阵来表示，那么双线性函数可不可以用一个矩阵表示呢？
设 \(B = \{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\) 是 \(V(F)\) 的一组基，\(V\) 中向量 \(\alpha, \beta\) 关于基 \(B\) 的坐标分别为：
$$ X = (x_1,\cdots,x_n)^T, \quad Y = (y_1,\cdots,y_n)^T $$ 即： $$ \alpha = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i, \quad \beta = \sum_{j=1}^{n} y_j e_j $$ 于是： $$ f(\alpha, \beta) = f\left( \sum_{i=1}^{n} x_i e_i, \sum_{j=1}^{n} y_j e_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j f(e_i, e_j). $$ 令 $ a_{ij} = f(e_i, e_j)(i,j = 1, \cdots, n) $，则：
其中 $ A = (a_{ij}){n \times n} = (f(e_i, e_j)) $ 称为双线性函数 $ f(\alpha, \beta) $ 在基 \(B\) 下的度量矩阵.
有了双线性函数以后，我们就很好引出二次型的内容了：如果 \(\beta=\alpha\)，会发生什么？
在 \(B = \{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\) 的基下，\(\alpha = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i\)，定义 \(g(x_1,\cdots,x_n)=f(\alpha, \alpha)\)，则：
这样，我们就得到了一个从 \(V\) 映射到 \(F\) 的函数，也就是我们接下来要讲的二次型。
二次型的定义¶
\(n\) 个元 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 的二次齐次多项式
$$ \begin{align*}
f(x_1,x_2,\ldots,x_n) & = \sum_{i=1}^{n}p_{ii}x_i^2+\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}p_{ij}x_ix_j
\end{align*} $$
称为数域 \(\mathbf{F}\) 上的 \(n\) 元二次型.
本学期研究的主要是实二次型. 若令 \(a_{ij}=a_{ji}\enspace(1\leqslant i<j\leqslant n)\)，则二次型可表示为 $$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=X^\mathrm{T}AX $$ 其中 \(X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}\in\mathbf{R}^n\)，\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)为实对称矩阵，并称对称矩阵 \(A\) 为二次型 \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) 的矩阵.
一个这样的函数可以对应的矩阵是很多的，我们规定二次型对应的矩阵一定是对称矩阵.
再次强调，从本质上来说，二次型实际上是一个 \(\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) 的函数，给一个 \((x_1,\cdots,x_n)\)，输出的就是一个实数，所以不用想得太复杂.
矩阵相合的定义与性质¶
我们称 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 相合于 \(B\)（记作 \(A\simeq B\) ），如果存在可逆矩阵 \(C\) 使得 \(B=C^\mathrm{T}AC\).
让我们回到之前二次型引入的部分，我们发现如果对于向量 \(\alpha\) 换一个基 \(B'=\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\}\)，\(\alpha\) 在 \(B'\) 下的坐标表示为 \((y_1,y_2,\cdots,y_n)\)， 假设在这个基下 \(f(\alpha)=h(y_1,\cdots,y_n)\) 那么可得： $$ g(x_1,\cdots,x_n)=X^\mathrm{T}AX=f(\alpha)=h(y_1,\cdots,y_n)=Y^\mathrm{T}BY $$ 如果我们有 \(X=CY\)，就可以得到 \(B=C^\mathrm{T}AC\).
- 注意：这里并没有要求 \(A,B\) 是实对称矩阵，所以做判断题时务必注意！
矩阵相合的性质¶
-
合同是等价关系（这也正是为什么要求 \(C\) 是可逆矩阵）；合同不同于相似，它是一种特殊的相抵；
-
\(A\simeq B\) 一般不能得到 \(A^m\simeq B^m\)（但是\(A,B\)为实对称矩阵时可以），但如果可逆，我们有 \(A^{-1}\simeq B^{-1}\)，同时如果\(A_1\simeq A_2,B_1\simeq B_2\)，则有：
\[ \begin{pmatrix}A_1 & O \\ O & B_1\end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix}A_2 & O \\ O & B_2\end{pmatrix} \] -
\(A\simeq B\) 表明 \(A\) 可以每次做相同的初等行列变换得到 \(B\) ，反之亦然. 这实际上就是初等变换法求相合标准形的基本原理，详见教材 260 页小字部分，感兴趣同学可以了解，一般不会要求使用这一方法.
Examples¶
已知 \(A\) 是一个 \(n\) 阶矩阵，证明 \(A\) 为反对称矩阵的充要条件是对任意 \(n\) 元列向量 \(X\) 都有 \(X^T A X = 0\);
若二次型 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = X^T A X\) 对任意 \(n\) 元列向量 \(X\) 都有 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0\)，证明：\(A = O\);
设二次型 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = X^T A X\)，\(g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = X^T B X\)。证明：若 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)，则 \(A = B\).
设 \(A \simeq B\)，\(C \simeq D\)，且它们都是 \(n\) 阶实对称矩阵，问：\(A + C \simeq B + D\) 是否成立.
二次标准型的定义和求解¶
二次型可以视为空间的曲线 / 曲面方程，我们希望把这些方程化为标准形式，类似于相似标准型和相抵标准型，我们希望把二次型对应的矩阵对角化：
由于目前我们讨论的都是实二次型，并且实对称矩阵一定可以相似对角化（实谱定理，下学期会讲），因此我们有下面的定理：
任意二次型 \(f(X)=X^\mathrm{T}AX\) 总可以通过可逆的线性变换 \(X=PY\) （其中 \(P\) 可逆）化为标准形，即： \(f(X)=X^\mathrm{T}AX\xlongequal{X=PY}Y^\mathrm{T}(P^\mathrm{T}AP)Y=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\).
对于标准二次型的求解，我们有配方法、正交变换法和初等变换法。初等变化法比较复杂，考试一般不做要求；正交变换法来源于正交矩阵逆就是转置，所以我们只要对于实对称矩阵相似对角化即可，然后线代 I 并不会考这个内容。
因此，在这里我们主要介绍配方法：
配方法的思想非常简单，就是利用配方消除混合乘积项，将二次型表示成几个平方和的形式，最后通过坐标变换 \(X=CY\)（又称仿射变换，其中 \(C\) 可逆）化标准形.
Examples¶
用配方法把三元二次型： $$ f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3 $$ 化为标准形，并求所用的坐标变换 \(X=CY\) 即变换矩阵\(C\).
如果不能直接配方的话，我们还需要采用换元的方法：
\(f = 2x_1x_4 + 2x_2x_3\).
相合规范形与惯性定理¶
对于一个实对称矩阵 \(A\)，如果我们采用正交变换标准化的话，得到的对角线上的元素就是特征值；
但是如果我们对过渡矩阵整体乘上 \(diag(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_n})\)，我们就可以得到一个对角线全为 \(1, -1, 0\) 的矩阵，我么称 \(diag(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)\) 这个矩阵为 \(A\) 的相合规范型.
其中，\(+1\) 的个数和 \(-1\) 的个数分别叫做 \(A\) 的正惯性系数和负惯性系数.
惯性定理¶
实对称矩阵的相合规范型唯一.
这个定理很显然，因为实对称矩阵的特征值都是固定的，特征值的正负性直接决定了相合规范型.
也就是说，通过正负惯性系数，我们可以将 \(n\) 阶的实对称矩阵划分为若干个等价类.
正定二次型与正定矩阵的定义¶
\(n\) 元实二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\) 称为正定二次型，如果 \(\forall X \neq 0,(X \in R^n)\) 恒有 \(X^TAX >0\)；正定二次型 \(X^TAX\) 所对应的矩阵 \(A\) 叫做正定矩阵.
- 注意，正定矩阵不一定是实对称矩阵！
假设一个 \(n\) 元二次型对应的实对称矩阵是 \(A\)，则以下五个命题等价：
- \(A\) 是正定矩阵
- \(A\) 的正惯性系数为 \(n\).
- \(A\) 的特征值均 \(>0\).
- \(A\) 可以表示为一个可逆矩阵 \(P\) 和它转置的乘积，即 \(A=P^TP\)，也即 \(A\) 的相合规范型是单位矩阵.
- \(A\) 的任意阶主子式均为 \(>0\).
（证明）
思考：如果对于负定矩阵，这些等价命题是否还成立？
例题选讲¶
大题¶
（2023-2024 学年线性代数I（H）期末）
\(f(x,y,z) = 5x^2 + y^2 + tz^2 + 4xy - 2yz - 2xz\)，当 \(t\) 取何值时，\(f(x,y,z)\) 是正定，半正定，不定的？并求不定时的正负惯性系数。
（2019-2020 学年线性代数I（H）期末）
已知二次型 \(X^TAX = ax_1^2 + ax_2^2 + ax_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3\) 的秩为 2。
(1) 求实数 \(a\) 的值；
(2) 用正交变换 \(X = QY\) 将 \(X^TAX\) 化为标准形，给出 \(Q\)，并求二次型的正、负惯性指数。
（2018-2019 学年线性代数I（H）期末）
设实二次型 \(f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} - 2x_{3}^{2} + 2bx_{1}x_{3}\)（\(b > 0\)），二次型对应的矩阵 \(A\) 的特征值之和为 1，特征值之积为 \(-12\)。
(1) 求参数 \(a,\ b\)；
(2) 用正交变换将二次型 \(f\) 化为标准形，并写出所用的正交变换及标准形；
(3) 判断此二次型是否是正定二次型。
判断正误¶
设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶正定矩阵。证明：\(A + B\) 的最大特征值大于 \(A\) 的最大特征值。
设 \(\lambda_1\) 和 \(\mu_1\) 分别是 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的最小特征值。证明：\(A + B\) 的最小特征值大于或等于 \(\lambda_1 + \mu_1\)。
设 \(A\) 是半正定矩阵，\(C\) 是可逆矩阵，证明：\(C^T AC\) 也是半正定矩阵。
设 \(A\) 是实对称矩阵，\(B\) 是正定矩阵。证明：存在可逆阵 \(C\)，使得 \(C^T A C\) 和 \(C^T B C\) 都成对角形。
（2019-2020 学年线性代数I（H）期末）
判断正误：设 \(x \in \mathbb{R}^n\)，对任意 \(\lambda \in \mathbb{R}\)，\(E + \lambda xx^{\rm T}\) 为正定矩阵。
（2023-2024 学年线性代数I（H）期末）
判断正误：\(A\) 是 \(m\) 阶实正定矩阵，\(C\) 为 \(m \times n\) 的实矩阵，\(\mathrm{r}(C) = m\)，则 \(C^T A C\) 也正定。